Untuk permasalahan soal SIMAK UI kali ini ditanyakan oleh Bernat Yusuf Sihite. Soal yang ditanyakan ini berasal dari soal SIMAK UI matematika IPA tahun 2010 kode 504.
Soal simak UI ini tidak berhasil diselesaikan di ruang kelas, sehingga pembahasannya kita lanjutkan melalui ruang ini saja.
Seperti apa soalnya, mari kita coba diskusikan.
Pertama, Soal matematika SIMAK UI 2010 kode 504 (Soal Lengkap)
Jika titik puncak fungsi kuadrat $y=\left(a-1\right)x^{2}+ax+4$ adalah $\left(1,\frac{39}{4}a^{2}\right)$ maka jarak antar titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu $x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \frac{2}{9}\sqrt{1101} \\
(B)\ & \frac{21}{3}\sqrt{2} \\
(C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{21} \\
(D)\ & 2\sqrt{13} \\
(E)\ & \frac{2}{3}
\end{align}$
Dari bentuk umum fungsi kuadrat $y=ax^{2}+bx+c$
kita peoleh rumus untuk mencari titik puncak yaitu
$x_{p}=-\frac{b}{2a}$
$y_{p}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$
Pada soal diketahui,
$x_{p}=1 $
$-\frac{a}{2\left(a-1\right)}=1$
$-a=2a-2 $
$3a=2 $
$a=\frac{2}{3} $
Nilai $a=\frac{2}{3} $ kita substitusi ke $y=\left(a-1\right)x^{2}+ax+4 $
sehingga fungsi menjadi
$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+4 $
Lalu kita cari titik potong terhadap sumbu $x $ maka $y=0 $
$0=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x+4 $
$x^{2}-2x-12=0 $
Dengan rumus abc kita dapatkan nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ yaitu
$x_{1}= 1-\sqrt{13}$ dan $x_{2}= 1+\sqrt{13}$
maka jarak titik potong ini adalah
$d=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$
$d=\sqrt{\left(1-\sqrt{13}-1-\sqrt{13}\right)^{2}+\left(0-0\right)^{2}}$
$d=\sqrt{\left(-2\sqrt{13}\right)^{2}}$
$d=2\sqrt{13}$ $\D$
Sebenarnya untuk milih jawaban ini ada sedikit keraguan, karena kalimat pada soal "jarak antar titik potong fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu $x$"
Soal Matematika SIMAK UI 2010 kode 504 (*Lihat Soal Lengkap)
Jumlah $p $ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $q $ dan jumlah $q $ suku pertama ialah $p $. Maka jumlah $\left(p+q\right) $ suku pertama dari barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & p+q \\
(B)\ & \frac{\left(p+q\right)}{2} \\
(C)\ & p+q+1 \\
(D)\ & -\left(p+q\right) \\
(E)\ & -\left(p+q+1\right)
\end{align}$
Untuk mencoba menyelesaikan masalah nomor 6, kita harus mengingatkan kembali rumus tentang menentukan jumlah n suku pertama barisan aritmatika, yaitu;
$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+\left(n-1\right)b\right) $
Untuk jumlah $p $ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $q $ dapat kita tuliskan menjadi,
$S_{p}=\frac{p}{2}\left(2a+\left(p-1\right)b\right ) $
$q=\frac{p}{2}\left(2a+\left(p-1\right)b\right) $
Sedangkan untuk jumlah $q $ suku pertama dari suatu barisan aritmetika ialah $p $ dapat kita tuliskan menjadi,
$S_{q}=\frac{q}{2}\left(2a+\left(q-1\right)b\right) $
$p=\frac{q}{2}\left(2a+\left(q-1\right)b\right) $
Berikutnya kita akan menghitung $S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( 2a+\left ( p+q-1 \right )b \right )$
Untuk menghitung $S_{p+q} $, secara alamiah kita akan mencoba $p+q $ dan hasil eksplorasi pada tahap ini tidak menemukan apa yang kita inginkan dan tahapan eksplorasi $p+q $ inilah yang kami cobakan di kelas dan sampai waktu pelajaran matematika selesai kami tidak menemukan hasilnya.
Sampai kantor guru saya coba coret-coret lagi dan belum ketemu juga idenya, sampai saya baca e-book nya Tutur Widodo dengan ide sederhana tapi briliant sekali, yaitu dengan menghitung $p-q $.
Mari kita coba menghitung.
$p-q= \left [\frac{q}{2}\left ( 2a+\left ( q-1 \right )b \right ) \right ] -\left [\frac{p}{2}\left ( 2a+\left ( p-1 \right )b \right ) \right ] $
$p-q= \left [aq+\frac{1}{2}bq^{2}-\frac{1}{2}bq \right ]-\left [ap+\frac{1}{2}bp^{2}-\frac{1}{2}bp \right ] $
$p-q= aq-ap+\frac{1}{2}bq^{2}-\frac{1}{2}bp^{2}-\frac{1}{2}bq+\frac{1}{2}bp $
$p-q= a\left ( q-p \right )+\frac{1}{2}b\left (q^{2}-p^{2} \right )-\frac{1}{2}b\left ( q-p \right ) $
$p-q= a\left ( q-p \right )+\frac{1}{2}b\left (q-p \right )\left (q+p \right )-\frac{1}{2}b\left ( q-p \right ) $
Sampai pada tahap ini kedua ruas kita bagikan dengan $\left ( q-p \right ) $
$-1=a+\frac{1}{2}b\left (q+p \right )-\frac{1}{2}b $
$-2=2a+b\left (q+p \right )-b $
$-2=2a+bq+bp-b $
$-2=2a+\left (q+p-1 \right )b $
dari persamaan yang kita peroleh diatas kita substitusikan ke $S_{p+q} $.
$S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( 2a+\left ( p+q-1 \right )b \right ) $
$S_{p+q}=\frac{\left (p+q \right )}{2}\left ( -2 \right ) $
$S_{p+q}=-\left (p+q \right ) $ $\D$
Begitu kira-kira penjelasannya Bernat Yusuf Sihite. Anda punya ide yang lain untuk menyelesaikan soal diatas [*mari berbagi] mungkin bisa membantu Bernat Yusuf Sihite dan kawan-kawannya di seluruh Indonesia😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Budaya itu perlu kita lestarikan, salah satunya adalah martumba, lihat anak-anak kreativitas anak SMAN 2 Lintongnihuta lomba martumba;
