Pertidaksamaan HM - AM - GM - QM adalah pertidaksamaan yang membandingkan nilai antara keempat jenis rata-rata ini yaitu Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), Quadratic Means (QM).
Banyak buku yang mengatakan bahwa ini adalah "pertidaksamaan", tetapi mungkin lebih baik disebut dengan "ketidaksamaan" karena untuk data yang sama nilai keempat rata-rata ini selalu memenuhi $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $.
Pemakaian kata 'pertidaksamaan' dan 'ketidaksamaan' ini memang sering tidak dibedakan, sedangkan artinya ada sedikit berbeda.
Dengan bahasa sederhananya bisa kita sampaikan pertidaksamaan berupa kalimat terbuka (kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya) sedangkan ketidaksamaan berupa kalimat tertutup (kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya).
Sebelum kita diskusi tentang ketidaksamaan $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $ ini, mungkin ada baiknya kita mengetahui Harmonic Means (HM), Arithmetic Means (AM), Geometric Means (GM), dan Quadratic Means (QM) dari suatu data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$.
Arithmetic Means (AM)
Arithmetic Means adalah rata-rata yang paling banyak dikenal oleh masyarakat karena rata-rata ini sudah diperkenalkan sejak sekolah dasar.
Arithmetic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$AM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}$
$AM={\frac {1}{n}}\,(\,x_{1}+x_{2}+\,\cdots \,+x_{n}\,) $
Untuk data $a\,dan\,b $ maka
$AM=\frac{a+b}{2} $
Untuk data $a, b,\,dan\,c$ maka
$AM=\frac{a+b+c}{3} $
Harmonic Means (HM)
Harmonic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$HM=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}$
$HM={\frac {1}{n}}\left ({\frac {1}{x_{1}}}+\frac {1}{x_{2}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{x_{n}}} \right ) $
Untuk data $a\,dan\,b $ maka
$HM=\frac{2ab}{a+b} $
Untuk data $a, b,\,dan\,c$ maka
$HM=\frac{3abc}{ab+ac+bc} $
Geometric Means (GM)
Geometric Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$GM={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}}$
$GM={\sqrt[{n}]{\,x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}} $
Untuk data $a\,dan\,b $ maka
$GM={\sqrt[{}]{ab}} $
Untuk data $a, b,\,dan\,c$ maka
$GM={\sqrt[{3}]{abc}} $
Quadratic Means (QM)
Quadratic Means dari data $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ didefenisikan dengan;
$QM={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}} $
$QM={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}} $
Untuk data $a$, dan $b$ maka
$QM={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}} $
Untuk data $a$, $b$, dan $c$ maka
$QM={\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}} $
Untuk data terurut dari terkecil ke terbesar $x_{1}, x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ nilai dari keempat rata-rata diatas memenuhi ketidaksamaan $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $.
Untuk data $a\,dan\,b $ berlaku
$\frac{2ab}{a+b} \leq {\sqrt[{}]{ab}} \leq \frac{a+b}{2} \leq {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$
Mungkin itu dulu perkenalan singkat tentang ketidaksamaan $\min \leq HM\leq GM\leq AM\leq QM\leq \max $. Untuk menambah lagi pengetahuan tentang pertidaksamaan ini, coba pelajari di Pythagorean Means.
Coba belajar pertidaksamaan Bentuk akar dengan video berikut mungkin bisa menambah pemahaman;
