Ujian Nasional berbasis komputer sudah semakin dekat. Salah satu cara untuk melihat bagaimana tingkat pemahaman kita terhadap materi-materi yang sudah dipelajari adalah dengan coba membahas soal-soal simulasi UNBK.
Soal-soal UNBK nanti memang $100\%$ tidak sama dengan soal-soal simulasi, tetapi soal simulasi UNBK ini menjadi tolak ukur dasar dalam mempelajari soal-soal yang akan diujikan pada ujian nasional. Meskipun soal UNBK nanti tidak sama persis dengan soal simulasi berikut ini tetapi aturan-aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal-soal simulasi UNBK ini sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai latihan dalam bernalar.
Kemampuan bernalar dapat naik jika dilatih dengan baik, kemapuan bernalar saat ini sangat jadi perhatian, apalagi karena perkembangan soal UNBK yang akan memakai beberapa soal HOTS (High Order Thinking Skils). Salah satu cara untuk dapat menyelesaikan soal HOTS adalah setidaknya kita sudah bisa memakai teorema-teorema dasar atau aturan dasar dalam mengerjakan soal sederhana atau soal LOTS (Low Order Thinking Skils), dimana untuk menyelesaikan hanya sekedar mensubstitusi variabel-variabel dari rumus-rumus yang ada.
Berikut mari kita coba soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket A. Jangan lupa untuk berlatih juga dari soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket C dan soal simulasi UNBK Matematika IPA 2020 paket B, mari berlatih dan berdiskusi😉😊
1. Persamaan kuadrat $x^{2}-2hx+(3h-2)=0$ mempunyai dua akar tidak real. Batas-batas nilai $h$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & h \lt -2\ \text{atau}\ h \gt -1 \\
(B)\ & h \lt -1\ \text{atau}\ h \gt 2 \\
(C)\ & h \lt 1\ \text{atau}\ h \gt 2 \\
(D)\ & 1 \lt h \lt 2 \\
(E)\ & -1 \lt h \lt 2
\end{align}$
Untuk persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar tidak real maka diskriminan kurang dari nol.
$\begin{align}
x^{2}-2hx+(3h-2) & = 0 \\
D & \lt 0 \\
b^{2}-4ac & \lt 0 \\
(-2h)^{2}-4(1)(3h-2)& \lt 0 \\
4h^{2}-12h+8 & \lt 0 \\
h^{2}-3h+2 & \lt 0 \\
(h-1)(h-2) & \lt 0 \\
\left[h=1 \right] & \left[h=2 \right] \\
1 \lt h \lt 2
\end{align}$
(*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1 \lt h \lt 2$
2. Bentuk sederhana dari $\dfrac{2-2\ log^{2}\ ab}{1-log\ a^{5}b^{3}+2\ log\ a^{2}b}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & log\ 10ab \\
(B)\ & 2log\ 10ab \\
(C)\ & log\ 20ab \\
(D)\ & log\ 10a^{2}b^{2} \\
(E)\ & 2log\ 10a^{2}b^{2} \\
\end{align}$
Untuk menyederhanakan bentuk aljabar pada soal di atas, kita perlu mengetahui sifat-sifat dasar logaritma.
$\begin{align}
& \dfrac{2-2\ log^{2}\ ab}{1-log\ a^{5}b^{3}+2\ log\ a^{2}b} \\
& = \dfrac{2\left (1- log^{2}\ ab \right )}{1-log\ a^{5}b^{3}+log\ a^{4}b^{2}} \\
& = \dfrac{2\left (1- log^{2}\ ab \right )}{1+log\ a^{4}b^{2}-log\ a^{5}b^{3}} \\
& = \dfrac{2\left (1+ log\ ab \right )\left (1- log\ ab \right )}{1+log\ \dfrac{a^{4}b^{2}}{a^{5}b^{3}}} \\
& = \dfrac{2\left (1+ log\ ab \right )\left (1- log\ ab \right )}{1+log\ a^{-1}b^{-1}} \\
& = \dfrac{2\left (1+ log\ ab \right )\left (1- log\ ab \right )}{1+log\ (ab)^{-1}} \\
& = \dfrac{2\left (1+ log\ ab \right )\left (1- log\ ab \right )}{1-log\ ab} \\
& = 2\left (1+ log\ ab \right ) \\
& = 2\left (log\ 10+ log\ ab \right ) \\
& = 2\ log\ 10ab
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2log\ 10ab$
3. Grafik fungsi kuadrat seperti tampak pada gambar memotong sumbu $X$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (-1,0)\ \text{dan}\ (5,0) \\
(B)\ & (-1,0)\ \text{dan}\ (6,0) \\
(C)\ & (2,0)\ \text{dan}\ (1,0) \\
(D)\ & (-4,0)\ \text{dan}\ (2,0) \\
(E)\ & (-5,0)\ \text{dan}\ (1,0)
\end{align}$
Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu $X$, maka kita perlu ketahui persamaan kurva. Kurva pada gambar melalui titik puncak $(-2,9)$ dan sebuah titik sembarang $(0,5)$.
Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah:
$\begin{align}
y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
5 & = a\left (0 -(-2)\right)^{2}+9 \\
5 & = a\left (0 + 2 \right)^{2}+9 \\
5-9 & = 4a \\
\dfrac{-4}{4} & = a \\
-1 & = a
\end{align}$
Persamaan kurva
$\begin{align}
y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
y & = (-1) \left (x -(-2)\right)^{2}+9 \\
y & = (-1) \left (x + 2 \right)^{2}+9 \\
y & = (-1) \left (x^{2} + 4x+4 \right)+9 \\
y & = -x^{2} - 4x-4+9 \\
y & = -x^{2} - 4x+5
\end{align}$
Memotong sumbu $X$, maka $y=0$:
$\begin{align}
0 & = -x^{2} - 4x+5 \\
0 & = x^{2} + 4x-5 \\
0 & = (x+5)(x-1) \\
& x=-5\ \text{atau}\ x=1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (-5,0)\ \text{dan}\ (1,0)$
4. Suatu bangunan akan diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya pembangunan per hari sebesar $\left(4x+\dfrac{650}{x}-40 \right)$ juta rupiah. Biaya minimum pembangunan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp1.050.000.000,00 \\
(B)\ & Rp925.000.000,00 \\
(C)\ & Rp850.000.000,00 \\
(D)\ & Rp550.000.000,00 \\
(E)\ & Rp425.000.000,00 \\
\end{align}$
Biaya pembangunan per hari sebesar $\left(4x+\dfrac{650}{x}-40 \right)$ dan waktu pengerjaan adalah $x$ hari, sehingga biaya total adalah:
$\begin{align}
P(x) & = x \left(4x+\dfrac{650}{x}-40 \right) \\
P(x) & = 4x^{2}+650-40x
\end{align}$
Biaya minimum ketika:
$\begin{align}
P'(x) & = 0 \\
8x -40 & = 0 \\
8x & = 40 \\
x & = \dfrac{40}{8} \\
x & = 5
\end{align}$
Biaya minimum saat $x=5$
$\begin{align}
P(x) & = 4x^{2}+650-40x \\
P(5) & = 4(5)^{2}+650-40(5) \\
& = 100+650-200 \\
& = 550
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp550.000.000,00$
5. Fungsi $g(x)=\dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{7}{2}x^{2}+6x+1$ turun pada interval...
$\begin{align}
(A)\ & -1 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1 \lt x \lt -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \lt x \lt \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & -2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2} \\
(E)\ & -2 \lt x \lt \dfrac{3}{2}
\end{align}$
Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $g(x)$ adalah $g'(x)=2x^{2}+7x+6$
$ \begin{align}
g'(x) & \lt 0 \\
2x^{2}+7x+6 & \lt 0 \\
(2x+3)(x+2) & \lt 0 \\
\left[x=-\dfrac{3}{2} \right] & \left[x=-2 \right] \\
-2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2} &
\end{align}$
(*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -2 \lt x \lt -\dfrac{3}{2}$
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(-2,3)$ dan melalui titik $(-1,3)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0 \\
(B)\ & x^{2}+y^{2}-4x-6y+12=0 \\
(C)\ & x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \\
(D)\ & x^{2}+y^{2}+4x+6y+12=0 \\
(E)\ & x^{2}+y^{2}+4x+6y-12=0 \\
\end{align}$
Untuk membentuk persamaan lingkaran setidaknya ada 2 hal dasar harus kita ketahui, yaitu titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Pada soal disampaikan titik pusat lingkaran $P(-2,3)$ dan lingkaran melalui titik $(-1,3)$, artinya jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui lingkaran.
$ \begin{align}
r & = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+x_{2}-x_{1})^{2}} \\
& =\sqrt{(3-3)^{2}+(-1-(-2))^{2}} \\
& =\sqrt{0+1} \\
& =1
\end{align} $
Persamaan lingkaran engan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah:
$ \begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}& =r^{2} \\
(x-(-2))^{2}+(y-3)^{2}& =1^{2} \\
x^{2}+4x+4+y^{2}-6y+9 & =1 \\
x^{2}+y^{2}+4x-6y+12 & = 0
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Lingkaran [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+12=0$
7. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-15=0$ yang tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+2y+27=0 \\
(B)\ & x+2y-27=0 \\
(C)\ & 2x+y+14=0 \\
(D)\ & 2x-y-14=0 \\
(E)\ & 2x-y-6=0
\end{align}$
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang dicari pada soal adalah PGS lingkaran jika diketahui gradiennya karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$.
Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$ maka gradien garis $x+2y-6=0$ ($m=-\frac{1}{2}$) dikali gradien garis singgung lingkaran adalah $-1$.
$m \times\ -\frac{1}{2}=-1$
$m =2$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $ x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$ jika diketahui gradiennya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}}$.
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-15=0$ kita peroleh pusat lingkaran yaitu $(1,-2)$ dan $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - C}=\sqrt{1 + 4 +15}=\sqrt{20}$.
$\begin{align}
y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\
y +2 & = 2(x-1) \pm \sqrt{20} \sqrt{1 + (2)^2} \\
y +2 & = 2x-2 \pm \sqrt{20} \sqrt{5} \\
y & = 2x-4 \pm \sqrt{100} \\
y & = 2x-4 \pm 10 \\
\text{(PGS 1) }:y & = 2x-4+10 \\
2x-y+6 & = 0 \\
\text{(PGS 2) }:y & = 2x-4-10 \\
2x-y-14 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2x-y-14=0$
8. Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}+x+3$ yang tegak lurus dengan garis $x-y=5$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-y-4=0 \\
(B)\ & x-y+4=0 \\
(C)\ & x+y-2=0 \\
(D)\ & x+y+2=0 \\
(E)\ & -x+y-2=0 \\
\end{align}$
Garis singgung kurva tegak lurus dengan garis $x-y=5$ maka gradien garis $x-y=5$ ($m=1$) dikali gradien garis singgung kurva adalah $-1$.
$m \times\ 1=-1$
$m =-1$
Untuk mendapatkan persamaan garis singgung kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+x+3$ gradiennya adalah $m=-1$, sehingga:
$\begin{align}
y & = x^{2}+x+3 \\
m=y' & = 2x+1 \\
-1 & = 2x+1 \\
-2 & = 2x \\
x & = -1 \\
y & = x^{2}+x+3 \\
y & = (-1)^{2}+(-1)+3 \\
y & = 3
\end{align} $
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(-1,3)$ dengan gradien $m=-1$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-3 & = -1 (x-(-1)) \\
y-3 & = -x-1 \\
y & = -x+2
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Persamaan Garis [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y-2=0$
9. Diketahui fungsi $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{2x}$ untuk $x \neq 0$. Turunan pertama fungsi $f(x)$ adalah $f'(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2x^{2}} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x^{2}} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4x^{2}} \\
(D)\ & -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4x^{2}} \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4x^{2}}
\end{align}$
Turunan pertama dari $f(x)$ adalah $f'(x)$ yaitu:
$ \begin{align}
f(x) & = \dfrac{u(x)}{v(x)} \\
f'(x) & = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^{2}(x)} \\
& = \dfrac{(2x) \cdot (2x) - \left( x^{2}-1 \right) \cdot 2}{(2x)^{2}} \\
& = \dfrac{4x^{2} - 2x^{2}+2}{4x^{2}} \\
& = \dfrac{2x^{2} +2}{4x^{2}} \\
& = \dfrac{2x^{2}}{4x^{2}} + \dfrac{2}{4x^{2}} \\
& = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2x^{2}} \\
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Turunan [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2x^{2}}$
10. Diketahui $f(x)=3x+4$ dan $(gof)(x)=6x+6$. Nilai dari $g^{-1}(0)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$
Berdasarkan informmasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=6x+6$ maka
$ \begin{align}
g \left (f(x) \right ) & = 6x+6 \\
g \left (3x+4 \right ) & = 2(3x+4)-2 \\
g \left (a \right ) & = 2(a)-2
\end{align} $
Invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$, salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu:
$ \begin{align}
y & = 2(a)-2 \\
y+2 & = 2(a) \\
\dfrac{y+2}{2} & = a \\
g^{-1}(a) & = \dfrac{a+2}{2} \\
g^{-1}(0) & = \dfrac{0+2}{2}=1
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: FKFI [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$
11. Usia Citra $8$ tahun lebih tua dari usia Salsa. Sedangkan $4$ tahun yang lalu usia Salsa sama dengan dua pertiga dari usia Citra. Usia Salsa sekarang...
$\begin{align}
(A)\ & 28\ \text{tahun} \\
(B)\ & 25\ \text{tahun} \\
(C)\ & 20\ \text{tahun} \\
(D)\ & 17\ \text{tahun} \\
(E)\ & 14\ \text{tahun}
\end{align}$
Kita misalkan umur Citra dan Salsa saat ini adalah $\text{Citra}=C$ dan $\text{Salsa}=S$.
Untuk empat tahun yang lalu umur mereka adalah $(C-4)$ dan $(S-4)$, berlaku:
$ \begin{align}
\dfrac{2}{3} (C-4) & = (S-4) \\
2C-8 & = 3S-12 \\
2C-3S & = -4 \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk saat ini umur mereka adalah $(C)$ dan $(S)$, berlaku:
$ \begin{align}
C & = S + 8 \\
C-S & = 8\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
2C - 3S = -4 & \times 1 & 2C - 3S = -4 & \\
C- S = 8 & \times 2 & 2C-2S = 16 & - \\
\hline
& & -S = - 20 \\
& & S =20
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20\ \text{tahun}$
12. Harga $4$ buku dan $4$ penggaris adalah $Rp40.000,00$, sedangkan harga $4$ buku dikurangi harga $4$ penggaris adalah $Rp20.000,00$. Jika harga buku adalah $a$ rupiah dan harga penggaris $b$ rupiah, persamaan matriks yang sesuai untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
-4 & -4\\
-4 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
(B)\ & \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
(C)\ & \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}
-4 & -4\\
-4 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
(D)\ & \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
(E)\ & \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=-\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
4 & -4\\
-4 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dengan memakai pemisalan $\text{harga buku}=a$ dan $\text{harga penggaris}=b$,
Harga $4$ buku dan $4$ penggaris adalah $Rp40.000,00$
$4a+4b=40.000$
Harga $4$ buku dikurangi $4$ penggaris adalah $Rp20.000,00$
$4a-4b=40.000$
$\begin{array}{c|c|cc}
4a+4b = 40.000 & \\
4a-4b = 20.000 & \\
\hline
\end{array} $
Sistem persamaan diatas jika tuliskan dalam bentuk matriks menjadi:
$\begin{align}
\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= \dfrac{1}{-16-16}\begin{pmatrix}
-4 & -4\\
-4 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= -\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
-4 & -4\\
-4 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} &= \dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}=\dfrac{1}{32}\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
40.000\\
20.000
\end{pmatrix}$
13. Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
3 & -1\\
2 & 1
\end{pmatrix}$. Invers dari matriks $BA$ adalah $(BA)^{-1}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{15} \\
\dfrac{1}{3} & \dfrac{-1}{3}
\end{pmatrix} \\
(B)\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{4}{15} & -\dfrac{1}{15} \\
-\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix} \\
(C)\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-4}{15} & \dfrac{1}{15} \\
\dfrac{1}{3} & \dfrac{-1}{3}
\end{pmatrix} \\
(D)\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-4}{15} & \dfrac{-1}{15} \\
\dfrac{-1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix} \\
(E)\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-4}{15} & \dfrac{-1}{15} \\
\dfrac{1}{3} & \dfrac{-1}{3}
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\begin{align}
BA &= \begin{pmatrix}
3 & -1\\
2 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
6-1 & 3-2\\
4+1 & 2+2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
5 & 1\\
5 & 4
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{align}
BA &= \begin{pmatrix}
5 & 1\\
5 & 4
\end{pmatrix} \\
BA^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{20-5}\begin{pmatrix}
4 & -1\\
-5 & 5
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{4}{15} & \dfrac{-1}{15} \\
\dfrac{-5}{15} & \dfrac{5}{15}
\end{pmatrix}
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Matriks [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \begin{pmatrix}
\dfrac{4}{15} & -\dfrac{1}{15} \\
-\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}$
14. Sebuah pabrik memproduksi ban sepeda melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin $A$ untuk mengolah karet mentah menjadi keret siap cetak. Tahap kedua menggunakan mesin $B$ untuk mengolah karet siap cetak menjadi ban. Misalkan $x$ menyatakan jumlah karet mentah dalam satuan $kg$ dan $y$ menyatakan jumlah bahan siap cetak dalam satuan $m^{2}$. Pada tahap pertama, banyak bahan siap cetak dihasilkan mengikuti fungsi $y=f(x)=5x-7$. Pada tahap kedua, jumlah ban yang dihasilkan mengikuti fungsi $g(y)=7y+3$. Jika satu buah ban sepeda seharga $Rp50.000$ dan terdapat $100\ kg$ karet mentah, pendapatan pabrik tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp169.500.000,00 \\
(B)\ & Rp170.550.000,00 \\
(C)\ & Rp170.700.000,00 \\
(D)\ & Rp172.550.000,00 \\
(E)\ & Rp172.700.000,00
\end{align}$
Banyak bahan mengikuti fungsi $y=f(x)=5x-7$, untuk $x=100$ maka $y=5(100)-7=493$
Jumlah ban yang dihasilkan mengikuti $g(y)=7y+3$, untuk $y=493$ maka $g(y)=7(493)+3=3.454$
Jumlah bahan yang dihasilkan adalah $3.454$ buah dengan harga satu buah $Rp50.000$ maka pendapatan pabrik adalah $3.454 \times 50.000=172.700.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp172.700.000,00$
15. Diketahui segitiga siku-siku $KLM$ dengan $sin\ L=\dfrac{7}{25}$ ($M$ dan $L$ sudut lancip). Nilai dari $(cosec\ L+tan\ M)(1-sin\ M)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{24}{25} \\
(B)\ & \dfrac{18}{25} \\
(C)\ & \dfrac{7}{25} \\
(D)\ & \dfrac{6}{25} \\
(E)\ & \dfrac{4}{25} \\
\end{align}$
Sebagai ilustrasi segitiga siku-siku $KLM$ dapat digambarkan sebagai berikut:
Dengan menggunkan teorema phytagoras dapat kita hitung, $KL$ yaitu:
$\begin{align}
KL^{2} & = LM^{2}- KM^{2} \\
& = 25^{2}- 7^{2} \\
& = 625 - 49 \\
& = 576 \\
KL & = \sqrt{576}=24
\end{align}$
$\begin{align}
& \left( cosec\ L+tan\ M \right) \left( 1-sin\ M \right) \\
& = \left( \dfrac{1}{sin\ L}+tan\ M \right) \left( 1-sin\ M \right) \\
& = \left( \dfrac{25}{7}+ \dfrac{24}{7} \right) \left( 1- \dfrac{24}{25} \right) \\
& = \left( \dfrac{49}{7} \right) \left( \dfrac{1}{25} \right) \\
& = \left( 7 \right) \left( \dfrac{1}{25} \right) \\
& = \dfrac{7}{25}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{7}{25}$
16. Seorang anak diminta untuk mengukur tinggi tiang listrik yang ada di depan sekolahnya dengan menggunakan klinometer. Pada posisi berdiri pertama dengan melihat ujung atas tiang listrik, terlihat klinometer menunjukkan sudut $30^{\circ}$. Kemudian dia bergerak mendekati tiang listrik sejauh $18$ meter dan terlihat klinometer menunjuk sudut $45^{\circ}$. Tinggi tiang listrik tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 18\sqrt{3}\ m \\
(B)\ & (18\sqrt{3}-18)\ m \\
(C)\ & (12\sqrt{3}+12)\ m \\
(D)\ & (9\sqrt{3}+9)\ m \\
(E)\ & (9\sqrt{2}+9)\ m
\end{align}$
Untuk mempermudah istilah pada gambar, titik-titik sudut kita beri nama sebagai berikut;
$\begin{align}
tan\ 45 & = \dfrac{CD}{BC} \\
1 & = \dfrac{CD}{BC} \\
BC & = CD \\
tan\ 30 & = \dfrac{CD}{AC} \\
\dfrac{1}{3}\sqrt{3} & = \dfrac{CD}{AC} \\
\dfrac{1}{3}AC \sqrt{3} & = CD
\end{align}$
$\begin{align}
BC & = \dfrac{1}{3}AC \sqrt{3} \\
BC & = \dfrac{1}{3} (BC+18) \sqrt{3} \\
BC & = \dfrac{1}{3}BC\sqrt{3}+6\sqrt{3} \\
BC - \dfrac{1}{3}BC\sqrt{3} & = 6\sqrt{3} \\
3BC - BC\sqrt{3} & = 18\sqrt{3} \\
BC \left(3 - \sqrt{3} \right) & = 18\sqrt{3} \\
BC & = \dfrac{18\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \times \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \\
& = \dfrac{54\sqrt{3}+54}{9 -3} \\
& = \dfrac{54\sqrt{3}+54}{6} \\
& = 9\sqrt{3}+9 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ (9\sqrt{3}+9)\ m $
17. Diketahui kubus $PQRS.TUVW$ dengan panjang rusuk $4\ cm$. Sudut anatar $UW$ dan $QV$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 150^{\circ} \\
(B)\ & 135^{\circ} \\
(C)\ & 120^{\circ} \\
(D)\ & 90^{\circ} \\
(E)\ & 60^{\circ} \\
\end{align}$
Untuk mempermudah melihat sudut kedua garis pada kubus, kita perhatikan gambar berikut ini;
Kita pilih garis $QV$ sampai ke $PW$, sehingga sudut $PW$ dan $WU$ adalah sudut yang akan kita cari. Dengan menggunakan bantuan segitiga $PWU$, dimana segitiga $PWU$ adalah segitiga sama sisi $(PW=WU=UP=4\sqrt{2})$ sehingga besar sudut $PW$ dan $WU$ adalah $60^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 60^{\circ}$
18. Balok $ABCD.EFGH$ seperti tampak pada gambar memiliki ukuran $AB=10\ cm$, $BC=4\ cm$, $CG=8\ cm$, $AS=2\ cm$ dan $GM=3\ cm$. Seekor semut berjalan pada permukaan balok dari $S$ menuju makanan yang ada di $M$. Jarak terpendek dari asal semut $(S)$ ke makanan $(M)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12\ cm \\
(B)\ & (4+\sqrt{41})\ cm \\
(C)\ & (4+\sqrt{89})\ cm \\
(D)\ & (8\sqrt{2}+5)\ cm \\
(E)\ & \sqrt{105}\ cm
\end{align}$
Lintasan semut adalah pada permukaan balok, sehingga tidak mungkin langsung berjalan dari $S$ ke $M$.
Jarak terpendek dapat pada balok dapat kita hitung dengan menggunakan teorema phytagoras, pada balok kita munculkan persegi panjang $MNOP$. Kita perhatikan pada gambar berikut:
Pada segitiga $SOP$ berlaku
$\begin{align}
SP^{2} & = OP^{2}+OS^{2} \\
& = 5^{2}+8^{2} \\
& = 25 +64 \\
& = 89 \\
SP & = \sqrt{89}
\end{align}$
Jarak terpendek dari $S$ ke $M$ adalah $SP+PM=\sqrt{89}+4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (4+\sqrt{89})\ cm$
19. Segitiga $PQR$ dengan titik sudut $P(1,1)$, $Q(3,1)$, dan $R(2,2)$ dirotasi sebesar $180^{\circ}$ pada pusat rotasi $(3,4)$. Bayangan ketiga titik tersebut berturut-turut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & P'(5,7),\ Q'(3,7),\ R'(4,6) \\
(B)\ & P'(5,5),\ Q'(3,4),\ R'(4,6) \\
(C)\ & P'(4,7),\ Q'(3,7),\ R'(4,4) \\
(D)\ & P'(4,5),\ Q'(3,4),\ R'(4,4) \\
(E)\ & P'(4,7),\ Q'(3,7),\ R'(4,4)
\end{align}$
Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $(x,y)$ yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,4)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $P(1,1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1-3\\
1-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2\\
-3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
2+3\\
3+4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\
7
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $Q(3,1)$ adalah $Q'(3,7)$ dan bayangan titik $R(2,2)$ adalah $R'(4,6)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ P'(5,7),\ Q'(3,7),\ R'(4,6)$
20. Nilai dari $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+7x-2}- 3x-1 \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{6} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & \dfrac{13}{6} \\
(E)\ & 3
\end{align}$
$ \begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+7x-2}- 3x-1\right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+7x-2}- \left (3x+1 \right ) \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+7x-2}-\sqrt{ \left (3x+1 \right )^{2}} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+7x-2}-\sqrt{9x^2+6x+1} \right ) \\
& = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \frac{7-6}{2\sqrt{9}} \\
& = \frac{1}{6}
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Limit Takhingga [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{6}$
21. Perhatikan gambar berikut!
Luas daerah persegi yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 32\ cm^{2} \\
(B)\ & 16\ cm^{2} \\
(C)\ & 12\ cm^{2} \\
(D)\ & 8 cm^{2} \\
(E)\ & 4\ cm^{2}
\end{align}$
Jika kita perhatikan luas persegi pertama (terluar) adalah $8 \times 8 =64\ cm^{2}$
Persegi yang kedua $4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} =32\ cm^{2}$
Persegi yang ketiga $4 \times 4 =16\ cm^{2}$
Persegi yang keempat $2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} =8\ cm^{2}$
Persegi yang kelima $2 \times 2 =4\ cm^{2}$
atau bisa pakai deret geometri suku ke-5 dengan $a=64$ dan $r=\dfrac{32}{64}=\dfrac{1}{2}$ adalah:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{5}=(64)(\dfrac{1}{2})^{5-1}$
$U_{5}=(64)(\dfrac{1}{2})^{4}$
$U_{5}=(64)\left(\dfrac{1}{16} \right)$
$U_{5}=4$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 4\ cm^{2}$
22. Suku ke-8 suatu deret aritmatika adalah $15$ dan jumlah suku ke-2 dengan suku ke-16 adalah $26$. Jumlah $40$ suku pertama deret adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 800 \\
(B)\ & 400 \\
(C)\ & -200 \\
(D)\ & -400 \\
(E)\ & -800
\end{align}$
Catatan deret aritmatika untuk menyelesaikan soal diatas adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a=(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Suku ke-8 deret aritmatika adalah 15, berlaku:
$\begin{align}
U_{8} & = 15 \\
a+7b & = 15
\end{align}$
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-16 adalah $26$, berlaku:
$\begin{align}
U_{2} + U_{16} & = 26 \\
a+b + a+15b & = 26 \\
2a+16b & = 26 \\
a+8b & = 13
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+8b = 13 & \\
a+7b=15 & - \\
\hline
b = - 2 & \\
a = 15 + 14 = 19 & \\
\end{array} $
Jumlah $40$ suku pertama deret adalah:
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{40} & = \dfrac{40}{2} \left(2(19)+(40-1)(-2) \right) \\
& = 20 \left(38-78 \right) \\
& = -800
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -800$
23. Hasil dari $\int 4x\ \left ( 2x^{2}-1 \right )^{3}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} + C \\
(B)\ & 4 \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{8} \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{8} \left ( 2x^{2}+1 \right )^{4} + C
\end{align}$
Hasil $\int 4x\ \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$\begin{align}
u & = 2x^{2}-1 \\
\dfrac{du}{dx} & = 4x \\
du & = 4x\ dx
\end{align}$
Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
Misal:
$\begin{align}
& \int 4x\ \left ( 2x^{2}-1 \right )^{3}\ dx \\
& = \int \left ( u \right )^{3}\ 4x\ dx \\
& = \int \left ( u \right )^{3}\ du \\
& = \dfrac{1}{4} \left ( u \right )^{3+1} + C \\
& = \dfrac{1}{4} \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} +C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{1}{4} \left ( 2x^{2}-1 \right )^{4} + C$
24. Diketahui $\int_{-2}^{3} \left ( 3x^{2}-12x+m \right ) dx=30$. Nilai $m$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 9
\end{align}$
$ \begin{align}
\int_{-2}^{3} \left ( 3x^{2}-12x+m \right ) dx & = 30 \\
\left [x^{3}-6x^{2}+mx \right ]_{-2}^{3} & = 30 \\
\left [(3)^{3}-6(3)^{2}+m(3) \right ]-\left [(-2)^{3}-6(-2)^{2}+m(-2) \right ] & = 30 \\
\left [27-54+3m \right ]-\left [-8-24-2m \right ] & = 30 \\
35-30+5m & = 30 \\
5 +5m & = 30 \\
m & = \frac{25}{5}=5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 5$
25. Perhatikan daerah penyelesaian berikut!
Sistem pertidaksamaan linear yang memenuhi daerah penyelesaian yang diarsir adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x+y \leq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(B)\ & 2x+y \leq 4;\ x+3y \geq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(C)\ & 2x+y \geq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(D)\ & 2x+y \leq 4;\ 3x+y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(E)\ & 2x+y \geq 4;\ 3x+y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
\end{align}$
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;
- $I:\ 4x+2y=8\ \rightarrow\ 2x+y=4$
- $II:\ 2x+6y=12\ \rightarrow\ x+3y=6$
- $III:\ y=0$
- $IV:\ x=0$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
- Titik $(0,0)$ ke $2x+y=4$ diperoleh $ 0 \leq 4 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 2x+y \leq 4 $.
- Titik $(0,0)$ ke $x+3y=6$ diperoleh $ 0 \leq 6 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+3y\leq 6 $.
- Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2x+y \leq 4;\ x+3y \leq 6;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
26. Seoarang petani ikan ingin membuat 12 kolam ikan untuk ikan lele dan ikan gurami. Kolam ikan lele memerlukan lahan $20\ m^{2}$ dan kolam ikan gurmai memerlukan lahan $40\ m^{2}$, sedangkan lahan yang tersedia hanya $400\ m^{2}$. Setiap kolam ikan gurami menghasilakn keuntungan $Rp10.000.000,00$ dan setiap kolam ikan lele menghasilakn keuntungan $Rp6.000.000,00$. Keuntungan maksimum yang bisa diperoleh petani tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & Rp72.000.000,00 \\
(B)\ & Rp75.000.000,00 \\
(C)\ & Rp88.000.000,00 \\
(D)\ & Rp104.000.000,00 \\
(E)\ & Rp115.000.000,00
\end{align}$
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, dengan memisalkan banyak kolam $\text{lele}\ =x$ dan $\text{gurami}\ =y$ maka kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
| Jenis Kolam | lahan | banyak |
| Lele ($x$) | $20$ | $x$ |
| Gurami ($y$) | $40$ | $y$ |
| Tersedia | $400$ | $12$ |
Dari tabel diatas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya;
$\begin{align}
20x+40y & \leq 400 \\
\left( x+2y \leq 20 \right) & \\
x+y & \leq 12 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
- titik $(0,0)$ maka $Z=6 (0)+10 (0)=0$
- titik $(12,0)$ maka $Z=6 (12)+10 (0)=72 $
- titik $(4,8)$ maka $Z=6 (4)+10 (8)=104 $ titik $(4,8)$ kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi garis I dan garis II
- titik $(0,10)$ maka $Z=6 (0)+10 (10)=100 $
27. Raras akan membuat kode dengan menyusun dari $5$ huruf dan diikuti oleh $2$ angka berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari huruf penyusun namanya, banyak kode yang dapat dibuat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1.800 \\
(B)\ & 2.160 \\
(C)\ & 2.700 \\
(D)\ & 4.320 \\
(E)\ & 5.400
\end{align}$
Huruf penyusun nama raras adalah $5$ huruf dimana dua huruf adalah sama, sehingga untuk menyusunnya kita pakai permutasi dengan ada unsur yang sama. Lalu diikuti oleh $2$ angka yang berasal dari $10$ angka yang ada.
Banyak susunan ode yang mungkin adalah:
$\begin{align}
& P_{2! 2!}^{5!} \times 10 \times 9 \\
& = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }{ 2 \times 2} \times 90 \\
& = 30 \times 90 \\
& = 2.700
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2.700$
28. Sebuah kotak berisi $5$ bola berwwarna merah dan $3$ bola berwarna putih. Dari dalam kotak diambil $2$ bola secara acak. Banyak cara pengambilan agar yang terambil satu bola merah dan satu bola putih adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 15 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 27 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Untuk mengambil $2$ bola dimana satu bola merah dan satu bola putih, berarti akan dipilih satu bola merah dari $5$ bola dan satu bola putih dari $3$ bola:
Banyak cara pengambilan adalah:
$\begin{align}
& _{5}C_{1} \times _{3}C_{1} \\
& = 5 \times 3 \\
& = 15
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 15$
29. Dari angka-angka $0,1,3,4,7,\ \text{dan}\ 9$ akan disusun bilangan yang terdiri atas tiga angka berlainan dan kurang dari $500$. Banyak bilangan yang dapat dibuat adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 120 \\
(B)\ & 80 \\
(C)\ & 60 \\
(D)\ & 40 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Bilangan yang akan disusun dari $0,1,3,4,7,\ \text{dan}\ 9$ adalah kurang dari $500$, maka angka ratusan yang mungkin (1,3,4), puluhan (0,1,3,4,7,9) dan satuan (0,1,3,4,7,9).
Banyak bilangan adalah $3 \times 5 \times 4 =60$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60$
30. Kotak I berisi $3$ bola merah dan $3$ bola putih, sedangkan kotak II berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Dari kedua kotak tersebut secara acak masing-masing diambil sebuah bola. Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{40} \\
(B)\ & \dfrac{3}{16} \\
(C)\ & \dfrac{3}{20} \\
(D)\ & \dfrac{1}{5} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Peluang sebuah kejadian $E$ adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
Pada kotak I, merah=3 dan putih=3
Peluang terambil bola merah dari kotak I
$\begin{align}
P(M_{I}) & = \dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \\
& = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
\end{align}$
Pada kotak II, merah=5 dan putih=3
Peluang terambil bola putih dari kotak II
$\begin{align}
P(P_{II}) & = \dfrac{n(E_{II})}{n(S_{II})} \\
& = \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II
$\begin{align}
P(E) & =P(M_{I}) \times P(P_{II}) \\
& =\dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \times \dfrac{n(E_{II})}{n(E_{II})} \\
& =\dfrac{3)}{6} \times \dfrac{3}{8} \\
& =\dfrac{3)}{16}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{16}$
31. Diberikan Histogram sebagai berikut:
Gambar ogive dari histogram tersebut adalah...
Dari histogram yang disajikan pada gambar, dapat kita buat ogive positif dan ogive negatif. Untuk membuat ogive kita membutuhkan distribusi frekuensi relatif. Kita sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
| Tabel distribusi Frekuensi | |||
|---|---|---|---|
| Kelas | Frekuensi | $f_{k} \leq$ | $f_{k} \geq$ |
| $10-19$ | $15$ | $\leq 9,5: 0$ | $\geq 9,5: 120$ |
| $20-29$ | $20$ | $\leq 19,5: 15$ | $\geq 19,5: 105$ |
| $30-39$ | $30$ | $\leq 29,5: 35$ | $\geq 29,5: 85$ |
| $40-49$ | $25$ | $\leq 39,5: 65$ | $\geq 39,5: 55$ |
| $50-59$ | $15$ | $\leq 49,5: 90$ | $\geq 49,5: 30$ |
| $60-69$ | $10$ | $\leq 59,5: 105$ | $\geq 59,5: 15$ |
| $70-79$ | $5$ | $\leq 69,5: 115$ | $\geq 69,5: 5$ |
| $80-89$ | $0$ | $\leq 79,5: 120$ | $\geq 79,5: 0$ |
| Jumlah | $120$ | $-$ | $-$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)$
32. Perhatikan grafik histogram berikut!
Modus dari data Histogram tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 23,00 \\
(B)\ & 23,50 \\
(C)\ & 24,33 \\
(D)\ & 24,53 \\
(E)\ & 24,83
\end{align}$
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih indah.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
- $Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
- Dari histogram terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $21-26$ dengan frekuensi $12$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-3 dengan interval $21-26$; $(Tb_{mo} = 21,5)$;
- $d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=12-8=4)$;
- $d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=12-10=2)$;
- $c:$ Panjang Kelas $(c=26,5-21,5=5)$;
$ \begin{align}
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 21,5 + \left( \frac{4}{4 + 2} \right) \cdot 5 \\
& = 21,5 + \left( \frac{4}{6} \right) \cdot 5 \\
& = 21,5 + \frac{20}{6} \\
& = 21,5 + 3,33 \\
& = 24,83
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 24,83$
33. Tabel berikut menunjukkan data berat badan anak (dalam kg) di suatu puskesmas.
Kuartil atas data berat badan anak tersebut adalah...
Berat Badan (kg) Frekuensi $3-5$ $9$ $6-8$ $7$ $9-11$ $5$ $12-14$ $12$ $15-17$ $3$ $18-20$ $4$
$\begin{align}
(A)\ & 14,85\ kg \\
(B)\ & 14,75\ kg \\
(C)\ & 13,90\ kg \\
(D)\ & 13,85\ kg \\
(E)\ & 13,75\ kg
\end{align} $
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Data pada tabel dapat kita hitung yaitu total frekuensi adalah $n=40$.
- Untuk menentukan letak $Q_{3}$ ada pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(n+1) \right]$
- $Q_{3}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(40+1) \right]=30,75$
- $Q_{3}$ berada pada data ke-$30,75$ artinya $Q_{3}$ berada pada kelas interval $12-14$ (*9+7+5+12=33)
- Tepi bawah kelas $Q_{3}$: $12-14$
$t_{b}= 12 - 0,5 = 11,5 $ - Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{3}$,
$f_{k}= 9+7+5=21$ - Frekuensi kelas $Q_{3}$, $f_{Q_{3}}=12$
- Panjang kelas $c=14,5-11,5=3$
$ \begin{align}
Q_{3} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{3}}} \right)c \\
& = 11,5 + \left( \frac{\frac{3}{4} \cdot 40 - 21}{12} \right)3 \\
& = 11,5 + \left( \frac{30 - 21}{12} \right)3 \\
& = 11,5 + \left( \frac{9}{12} \right)3 \\
& = 11,5 + \frac{9}{4} \\
& = 13,75
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 13,75\ kg$
34. Indri menggunting karton membentuk sebuah segitiga sembarang. Masing-masing titik sudutnya ditandai dengan huruf $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$ Panjang sisi $PQ$ adalah $15\ cm$, panjang sisi $QR$ adalah $20\ cm$, dan besar sudut $Q$ adalah $30^{\circ}$. Luas segitiga $PQR$ yang dibuat oleh Indri adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 75\ cm^{2} \\
(B)\ & 75 \sqrt{2}\ cm^{2} \\
(C)\ & 75 \sqrt{3}\ cm^{2} \\
(D)\ & 150\ cm^{2} \\
(E)\ & 150 \sqrt{2}\ cm^{2}
\end{align}$
Segitiga yang dibuat Indri adalah segitiga $PQR$ dimana diketahui $PQ=15\ cm$, $QR=20\ cm$, dan besar sudut $Q$ adalah $30^{\circ}$.
Luas segitiga $PQR$ dapat kita hitung dengan menggunakan luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan satu sudut, yaitu:
$\begin{align}
L & = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ Q \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ 30^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 \cdot \dfrac{1}{2} \\
& = 15 \cdot 5 \\
& = 75
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 75\ cm^{2}$
35. Bahtiar berangkat dari ke kampus pukul $06.30$ setiap pagi. Jika menggunakan mobil dengan kecepatan rata-rata $40$ km/jam, dia tiba di kampus terlambat $15$ menit. Jika menggunakan motor dengan kecepatan rata-rata $60$ km/jam, dia tiba di kampus $5$ menit sebelum perkuliahan dimualai. Perkuliahan di kampus Bahtiar dimuali pukul...
$\begin{align}
(A)\ & 07.45 \\
(B)\ & 07.30 \\
(C)\ & 07.15 \\
(D)\ & 07.10 \\
(E)\ & 07.00
\end{align}$
Kita coba selesaikan dengan memisalkan jarak rumah ke kampus adalah $x$ km dan waktu yang dibutuhkan untuk sampai di kampus tepat waktu adalah $t$ jam.
Dengan kecepatan $40$ km/jam dia tiba di kampus $15$ menit terlambat maka waktu yang dibutuhkan adalah $t+\dfrac{15}{60}$ jam.
$\begin{align}
v & = \dfrac{s}{t} \\
40 & = \dfrac{x}{t+\dfrac{15}{60}} \\
40t+10 & = x
\end{align}$
Dengan kecepatan $60$ km/jam dia tiba di kampus $5$ menit lebih cepat maka waktu yang dibutuhkan adalah $t-\dfrac{5}{60}$ jam.
$\begin{align}
v & = \dfrac{s}{t} \\
60 & = \dfrac{x}{t-\dfrac{5}{60}} \\
60t-5 & = x
\end{align}$
dari nilai $x$ yang kiat peroleh diatas dapat kita simpulkan
$\begin{align}
40t+10 & = 60t-5 \\
10+5 & = 60t-40t \\
15 & = 20t \\
t & = \dfrac{15}{20}
t & = \dfrac{3}{4}
\end{align}$
Waktu tempuh yang dibutuhkan untuk hadir di kampus tepat waktu adalah $t$ jam atau $\dfrac{3}{4}$ jam atau $45$ menit. Sehingga jika berangkat dari rumah pukul $06.30$, kampus masuk $07.15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 07.15$
36. Diketahui barisan geometri dengan $U_{5}=6$ dan $U_{9}=24$. Suku ke-4 barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4\sqrt{3} \\
(B)\ & 3\sqrt{3} \\
(C)\ & 3\sqrt{2} \\
(D)\ & 2\sqrt{3} \\
(E)\ & 2\sqrt{2}
\end{align}$
Catatan tenatang barisan geometri untuk menyelesaikan soal diatas adalah suku ke-n barisan geometri adalah $U_{n}=ar^{n-1}$.
$\begin{align}
U_{5} & = ar^{5-1} \\
6 & = ar^{4}
\end{align}$
$\begin{align}
U_{9} & = ar^{9-1} \\
24 & = ar^{8} \\
24 & = ar^{4} \cdot r^{4} \\
24 & = 6 \cdot r^{4} \\
4 & = r^{4} \\
4^{\dfrac{1}{4}} & = r \\
2^{\dfrac{1}{2}} & = r \\
\sqrt{2} & = r
\end{align}$
untuk $r=\sqrt{2}$ maka
$\begin{align}
6 & = ar^{4} \\
6 & = a (4) \\
a & = \dfrac{3}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
U_{4} & = ar^{4-1} \\
& = ar^{3} \\
& = \dfrac{3}{2} \cdot (\sqrt{2})^{3} \\
& = \dfrac{3}{2} \cdot 2\sqrt{2} \\
& = 3\sqrt{2}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\sqrt{2}$
37. Persamaan kuadrat $2x^{2}+12x+17=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{\alpha-2}{2}$ dan $\dfrac{\beta-2}{2}$ adalah $ax^{2}+bx+c=0$. Nilai $2a+b+c$ adalah...
Persamaan kuadrat $2x^{2}+12x+17=0$ mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$ maka:
$\begin{align}
\alpha + \beta & = -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{12}{2}=-6 \\
\alpha \times \beta & = \dfrac{c}{a}=\dfrac{17}{2}=8\dfrac{1}{2}
\end{align}$
Salah satu cara menyusun persamaan kuadrat adalah dengan mengetahui hasil jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat tersebut.
Jika sebuah persamaan kuadrat akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat tersebut adalah:
$x^{2}-\left( x_{1}+x_{2}\right)x+\left( x_{1} \times x_{2}\right)=0$
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\alpha-2}{2} + \dfrac{\beta-2}{2} \\
& = \dfrac{\alpha-2+\beta-2}{2} \\
& = \dfrac{\alpha+\beta-4}{2} \\
& = \dfrac{-6-4}{2} \\
& = -5
\end{align}$
$\begin{align}
x_{1} \times x_{2} & = \dfrac{\alpha-2}{2} \times \dfrac{\beta-2}{2} \\
& = \dfrac{\alpha \beta -2(\alpha + \beta)+4}{4} \\
& = \dfrac{8\dfrac{1}{2} -2(-6)+4}{4} \\
& = \dfrac{8\dfrac{1}{2} +16}{4} \\
& = \dfrac{24\dfrac{1}{2}}{4} \\
& = \dfrac{49}{8}
\end{align}$
Persamaan kuadrat yang baru adalah:
$\begin{align}
x^{2}-\left( x_{1}+x_{2}\right)x+\left( x_{1} \times x_{2}\right) & = 0 \\
x^{2}-\left( -5 \right)x+\left( \dfrac{29}{8} \right) & = 0 \\
x^{2}+5x+ \dfrac{49}{8} & = 0 \\
8x^{2}+40x+ 49 & =0
\end{align}$
(*soal ini memiliki banyak jawaban)
$\therefore$ Nilai $2a+b+c$ adalah $2(8)+40+49=105$
38. Diketahui
$f(x)=\begin{cases}3x-a,\ x\leq 2 \\
2x+1,\ x \gt 2 \end{cases}$
Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $a=...$
Berdasarkan defenisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$
Limit kanan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(2x+1)=2(2)+1=5$
Limit kiri $\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-a)=3(2)-a=6-a$
Berdasarkan defenisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$\begin{align}
6-a & = 5 \\
6-5 & = a \\
a & = 1
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $a$ adalah $1$
39. Nilai $x$ yang memenuhi fungsi trigonometri $f(x)=\sqrt{2}\ cos\ 3x+1$ memotong sumbu $X$ pada interval $180^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}$ adalah...
Fungsi $f(x)=\sqrt{2}\ cos\ 3x+1$ memotong sumbu $x$ sehingga:
$\begin{align}
\sqrt{2}\ cos\ 3x+1 & = 0 \\
\sqrt{2}\ cos\ 3x & = -1 \\
cos\ 3x & = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
cos\ 3x & = -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
cos\ 3x & = cos\ 225
\end{align}$
$\begin{align}
3x = 225+k \cdot 360\ & \vee\ 3x = -225+k \cdot 360 \\
x = 75+k \cdot 120\ & \vee\ x = -75+k \cdot 120
\end{align}$
- Untuk $k=-1$
$x = -45 \vee\ x = -195$ - Untuk $k=0$
$x = 75 \vee\ x = -75$ - Untuk $k=1$
$x = 195 \vee\ x = 45$ - Untuk $k=2$
$x = 315 \vee\ x = 165$ - Untuk $k=3$
$x = 435 \vee\ x = 285$
$\therefore$ Nilai $x$ yang memenuhi adalah $195$
40. Gambar berikut merupakan denah arena pameran
Banyak cara seorang pengunjung dapat masuk dan keluar arena pameran tersebut adalah...
Pintu masuk arena pameran ada $4$ pintu dan terdapat dua gedung di dalam arena pameran, sehingga banyak cara masuk dan keluar gedung ada $2$ cara yaitu lewat geduang A atau $B$.
Total banyak cara adalah $4 \times 2 \times 2 + 4 \times 1 \times 3=16+12=28$
$\therefore$ Banyak cara adalah $28$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasJika tertarik untuk menyimpan catatan calon guru di atas dalam bentuk file (.pdf) silahkan di download pada link berikut ini:
- Soal Simulasi UNBK Matematika SMA IPA 👀 Download
- Soal dan Pembahasan Simulasi UNBK Matematika SMA IPA 👀 Download
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Sebagai tambahan, mari kita simak video pengenalan pertidaksamaan bentuk akar;
